高考数学常用公式及结论大全》180条（新编
高考数学常用公式及结论
1．熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数学成绩将会起到很大的作用。
2．所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。
1.元素与集合的关系： , .
2.德摩根公式： .
3.包含关系
4.容斥原理
.
5．集合 的子集个数共有 个；真子集有 －1个；非空子集有 －1个；非空的真子集有 －2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式 ； (2)顶点式 ；
(3)两根式 .
7.解连不等式 常有以下转化形式： ；
8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于" "或" 且 "或" 且 "
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若 ，则 ；
若 ， ， .
(2)当a<0时，若 ，则 ；
若 ，则 ， .
10.一元二次方程的实根分布
依据：若 ，则方程 在区间 内至少有一个实根 .
设 ，则
（1）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 .
（2）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 或 或 .
（3）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 .
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据：
(1)在给定区间 的子区间 （形如 ， ， 不同）上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是 .
(2)在给定区间 的子区间上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是 .
(3) 恒成立的充要条件是 或 .
12.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
13.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有 个
至多有（ ）个
小于 不小于 至多有 个
至少有（ ）个
对所有 ，成立
存在某 ，不成立
或
且
对任何 ，不成立
存在某 ，成立
且
或
14.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
15.充要条件
（1）充分条件：若 ，则 是 充分条件.
（2）必要条件：若 ，则 是 必要条件.
（3）充要条件：若 ，且 ，则 是 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设 那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，则 为减函数.
17.如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是减函数；如果函数 和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数 是偶函数，则 ；
若函数 是偶函数，则 ，并且 关于 对称.
20.对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是函数 ;两个函数 与 的图象关于直线 对称.
21.若 ,则函数 的图象关于点 对称；若 ,则函数 为周期为 的周期函数.
22．多项式函数 的奇偶性
多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数 的图象的对称性
(1)函数 的图象关于直线 对称
(2)函数 的图象关于直线 对称
24.两个函数图象的对称性
(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.
(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.
(3)函数 和 的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象；
若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图象.
26．互为反函数的两个函数的关系： .
27.若函数 存在反函数,则其反函数为 ，并不是 ，而函数 是 的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数 ,具有性质： .
(2)指数函数 ,具有性质： .
(3)对数函数 ,具有性质： .
(4)幂函数 ,具有性质： .
(5)余弦函数 ,正弦函数 ，具有性质： ，
.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1） ，则 的周期 ；
（2） 或 或 ,则 的周期 ；
(3) ，则 的周期 ；
(4) 且 ，
则 的周期 ；
(5) ，则 的周期 .
30.分数指数幂
(1) （ ，且 ）；(2) （ ，且 ）.
31．根式的性质
（1） .（2）当 为奇数时， ； 当 为偶数时， .
32．有理指数幂的运算性质
(1) ；(2) ；(3)
33.指数式与对数式的互化式
.
34.对数的换底公式
( ,且 , ,且 , ).
推论 ( ,且 , ,且 , , ).
35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1) ;(2) ;(3) .
36.设函数 ，记 .若 的定义域为 ,则 ，且 ；若 的值域为 ,则 ，且 .【对于 的情形，需要单独检验.】
37.平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 .
38.数列的通项公式 与前n项的和 的关系 .
39.等差数列的通项公式： ；
其前n项和 公式为： .
40.等比数列的通项公式： ；
其前n项的和公式为： 或 .
41.等比差数列 : 的通项公式为
【用待定系数法来求】 ；
42．常见三角不等式
（1）若 ，则 ；(2) 若 ，则 .
(3) .
43.同角三角函数的基本关系式： ， = ， .
44.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
，
45.和角与差角公式
; ;
.
= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).
46.二倍角公式
； ；
.
47. 三倍角公式
；
； .
48.三角函数的周期公式
函数 及函数 的周期 ；
函数 的周期 .
49.正弦定理： （ 为 的外接圆半径）.
50.余弦定理
； ； .
51.面积定理
（1） （ 分别表示a、b、c边上的高）.
（2） ；(3) .
52.三角形内角和定理
在△ABC中，有 .
53. 简单的三角方程的通解
.
.
.
特别地,有
.
.
.
54.实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa；(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
55.向量的数量积的运算律：（三个向量的数量积不满足结合律）
(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）；(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
56.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
57．向量平行的坐标表示
设a= ,b= ，则a∥b .
53. a与b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ．
58. a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
59.平面向量的坐标运算
(1)设a= ,b= ，则a+b= .
(2)设a= ,b= ，则a-b= .
(3)设A ，B ,则 .
(4)设a= ，则 a= .
(5)设a= ,b= ，则a·b= .
60.两向量的夹角公式
(a= ,b= ).
61.平面两点间的距离公式
= (A ，B ).
62.向量的平行与垂直
设a= ,b= ，则
a∥b b=λa ；a b a·b=0 .
63.线段的定比分公式
设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则
（ ）.
64.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则△ABC的重心的坐标是 .
65.点的平移公式
.
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，且 的坐标为 .
66."按向量平移"的几个结论
（1）点 按向量a= 平移后得到点 .
(2) 函数 的图象 按向量a= 平移后得到图象 ,则 的函数解析式为 .
(3) 图象 按向量a= 平移后得到图象 ,若 的解析式 ,则 的函数解析式为 .
(4)曲线 : 按向量a= 平移后得到图象 ,则 的方程为 .
(5) 向量m= 按向量a= 平移后得到的向量仍然为m= .
67. 三角形四"心"向量形式的充要条件，设 为 所在平面上一点，则
（1） 为 的外心 .
（2） 为 的重心 .
（3） 为 的垂心 .
（4） 为 的内心 .( 为角 所对边长)
68.常用不等式：
（1） (当且仅当a＝b时取"="号)．
（2） (当且仅当a＝b时取"="号)．
（3）
（4）柯西不等式
（5） .
69.已知 都是正数，则有
（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；
（2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .
70.一元二次不等式 ，如果 与 同号，则其解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
； .
71.含有绝对值的不等式
当a>0时，有 ； 或 .
72.无理不等式
（1） ；（2） ；
（3） .
73.指数不等式与对数不等式
(1)当 时, ； ；
(2)当 时, ；
74.斜率公式： （ 、 ）.
75.直线的五种方程
（1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )．
（2）斜截式 (b为直线 在y轴上的截距).
（3）两点式 ( )( 、 ( )).
(4) 截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， )
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
76.两条直线的平行和垂直
(1)若 ，
① ；② .
(2)若 , ,且A2、B2 、C2都不为零,
① ；② ；
77.夹角公式： .( ， , )
直线 时，直线l1与l2的夹角是 .
78. 到 的角公式： .( ， , )
直线 时，直线l1到l2的角是 .
79．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点 的直线系方程为 (除直线 ),其中 是待定的系数；经过定点 的直线系方程为 ,其中 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线 , 的交点的直线系方程为 (除 )，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线 中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线 平行的直线系方程是 ( )，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是 ,λ是参变量．
80.点到直线的距离： (点 ，直线 ： ).
81. 或 所表示的平面区域
设直线 ，则 或 所表示的平面区域是：
若 ，当 与 同号时，表示直线 的上方的区域；
当 与 异号时，表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若 ，当 与 同号时，表示直线 的右方的区域；
当 与 异号时，表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
82. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 ( ＞0).
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程 【圆的直径的端点是 、 】.
83. 圆系方程
(1)过直线 : 与圆 : 的交点的圆系方程是 ,λ是待定的系数．
(2)过圆 : 与圆 : 的交点的圆系方程是 ,λ是待定的系数．
84.点与圆的位置关系，点 与圆 的位置关系有三种：
若 ，则
点 在圆外； 点 在圆上； 点 在圆内.
85.直线与圆的位置关系
直线 与圆 的位置关系有三种:
； ； .
其中 .
86.两圆位置关系的判定方法，设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
； ;
； ；
.
87.圆的切线方程
(1)已知圆 ．
①若已知切点 在圆上，则切线只有一条，其方程是
.
当 圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为 ，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为 ，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆 ．
①过圆上的 点的切线方程为 ；
②斜率为 的圆的切线方程为 .
88.椭圆 的参数方程是 .
89.椭圆 焦半径公式： ， .
90．椭圆的的内外部
（1）点 在椭圆 的内部 .
（2）点 在椭圆 的外部 .
91. 椭圆的切线方程
(1)椭圆 上一点 处的切线方程是 .
（2）过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）椭圆 与直线 相切的条件是 .
92.双曲线 的焦半径公式： ， .
93.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .
(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .
(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在x轴上； ，焦点在y轴上）.
94. 双曲线的切线方程
(1)双曲线 上一点 处的切线方程是 .
（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是
（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .
95. 抛物线 的焦半径公式
抛物线 焦半径 .
过焦点弦长 .
96.抛物线 上的动点可设为P 或 P ，其中 .
97.二次函数 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为 ；（2）焦点的坐标为 ；（3）准线方程是 .
98.抛物线的内外部
(1)点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
(2)点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
(3)点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
(4)点 在抛物线 的内部 .
点 在抛物线 的外部 .
96. 抛物线的切线方程
（1）抛物线 上一点 处的切线方程是 .
（2）过抛物线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）抛物线 与直线 相切的条件是 .
97.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线 , 的交点的曲线系方程是 ( 为参数)
(2)共焦点的有对称中心的圆锥曲线系方程 ,其中 ；
当 时,表示椭圆；当 时,表示双曲线.
98.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或
（弦端点A ， 【 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率】.
99.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线 关于点 成中心对称的曲线是 .
（2）曲线 关于直线 成轴对称的曲线是
.
100."四线"一方程
对于一般的二次曲线 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 即得方程
，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均可由此方程得到.
101．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面两直线无交点；（2）转化为两条直线同时与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
102．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.
103．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定两平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.
104．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为该线与另一线的射影垂直；
（4）转化为该线与形成射影的斜线垂直.
105．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
106．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.
107.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
108.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
109.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b 存在实数λ使a=λb．
三点共线 .
、 共线且 不共线 且 不共线.
110.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的 存在实数对 ,使 ．
推论：空间一点P位于平面MAB内的 存在有序实数对 ,使 ，
或对空间任一定点O，有序实数对 ，使 .
111.对空间任一点 和不共线的三点A、B、C，满足 （ ），则当 时，对于空间任一点 ，总有P、A、B、C四点共面；当 时，若 平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若 平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．
四点共面 与 、 共面
（ 平面ABC）.
112.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使 .
113.射影公式
已知向量 =a和轴 ，e是 上与 同方向的单位向量.作A点在 上的射影 ，作B点在 上的射影 ，则 〈a，e〉=a·e
114.向量的直角坐标运算
设a＝ ，b＝ 则
(1)a＋b＝ ；(2)a－b＝ ；
(3)λa＝ (λ∈R)；(4)a·b＝ ；
115.设A ，B ，则 = .
116．空间的线线平行或垂直
设 ， ，则
； .
117.夹角公式
设a＝ ，b＝ ，则cos〈a，b〉= .
推论 ，此即三维柯西不等式.
118．异面直线所成角
=
（其中 （ ）为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量）
119.直线 与平面所成角 ( 为平面 的法向量).
120.二面角 的平面角 或 （ ， 为平面 ， 的法向量）
121.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为 ，AB与AC所成的角为 ，AO与AC所成的角为 ．则 .
122.空间两点间的距离公式
若A ，B ，则 = .
123.异面直线间的距离
( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 分别是 上任一点， 为 间的距离).
124.点 到平面 的距离
（ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）.
125.异面直线上两点距离公式： （ ）.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段 的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F， , , ).
126.三个向量和的平方公式：
127. 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 ，夹角分别为 ,则有 .
128. 面积射影定理： .
(平面多边形及其射影的面积分别是 、 ，它们所在平面所成锐二面角的为 ).
129.的半径是R，则其体积 ,其表面积 ．
130.球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,
(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为
131.体、锥体的体积
（ 是柱体的底面积、 是柱体的高）
（ 是锥体的底面积、 是锥体的高）
132.分类加法原理（加法原理）
.
133.分步计数原理（乘法原理）
.
134.排列数公式
= = .( ， ∈N*，且 )．注:规定 .
135.排列恒等式
（1） ；（2） ；（3） ；
(4) .
136.组合数公式
= = = ( ∈N*， ，且 ).
137.组合数的两个性质
(1) = ;(2) + = ；注:规定 .
138.组合恒等式
（1） ； （2） = ； （3） ；
(4) ； (5) ；
(6) ；
139.排列数与组合数的关系： .
140．"错位问题"及其推广
贝努利装错笺问题:信 封信与 个信封全部错位的组合数为
141．不定方程 的解的个数
(1)方程 （ ）的正整数解有 个.
(2) 方程 （ ）的非负整数解有 个.
142.二项式定理 ;
二项展开式的通项公式 .
143.等可能性事件的概率 .
144.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
145. 个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
146.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
147.n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
148.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
149.离散型随机变量的分布列的两个性质：（1） ；（2） .
150.数学期望
151.数学期望的性质
（1） .（2）若 ～ ,则 .
(3) 若 服从几何分布,且 ，则 .
152.方差
153.标准差 = .
154.方差的性质
(1) ；(2）若 ～ ，则 .
(3) 若 服从几何分布,且 ，则 .
155.方差与期望的关系 .
156.正态分布密度函数 ，式中的实数μ， （ >0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差；
当 时得到标准正态分布密度函数： .
157.对于 ，取值小于x的概率 .
.
158.特殊数列的极限
（1） .
（2） 【 无穷等比数列 ( )的和】.
159. 函数的极限定理： .
160.几个常用极限
（1） ， （ ）；（2） ， .
161.两个重要的极限
（1） ；（2） (e=2.718281845…).
162.函数极限的四则运算法则
若 ， ，
则(1) ；(2) ；(3) .
163.数列极限的四则运算法则
若 ，则
(1) ；(2) ；(3)
(4) ( c是常数).
164. 在 处的导数（或变化率或微商）： .
165.瞬时速度 .
166.瞬时加速度 .
167. 在 的导数 .
168. 函数 在点 处的导数的几何意义：
函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率 ，相应的切线方程是 .
169.几种常见函数的导数
(1) （C为常数）；(2) .(3) ；(4) ； (5) ； ；(6) ; ；
170.导数的运算法则：（1） ；（2） ；（3） .
171.复合函数的求导法则
设函数 在点 处有导数 ，函数 在点 处的对应点U处有导数 ，则复合函数 在点 处有导数，且 ，或写作 .
172.判别 是极大（小）值的方法：当函数 在点 处连续时，
（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极大值；
（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极小值.
173.复数的相等： .（ ）
174.复数 的模（或绝对值）： = = .
175.复数的四则运算法则
(1) ;(2) ;
(3) ;
(4) .
176.复数的乘法的运算律
对于任何 ，有交换律: ；结合律: ；
分配律: ；
178.复平面上的两点间的距离公式
（ ， ）.
179.实系数一元二次方程的解：实系数一元二次方程 ，①若 ,则 ;②若 ,则 ;③若 ，它在实数集 内没有实数根；在复数集 内有且仅有两个共轭复数根
编者后话
我们一步一个脚印，披荆斩棘，执著地一路走来，为此我们付出了青春、汗水和热情。亲爱的同学们，老师一直在你您们的背后关注和支持着你们，要记住：永远不要气馁，永远不要放弃！最后预祝同学们在06年一模(高考)中取得佳绩！
『另：本稿因时间仓促，错漏或不当之处，敬请大家批评指正。』
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